Использование преобразования Фурье

         В настоящее время в обработке сейсморазведочных материалов широко применяются различные модификации преобразований Лагранжа, в особенности, преобразование Фурье. С увеличением вычислительных мощностей идет лавинообразное увеличение доли этих преобразований в вычислительном процессе. Здесь и деконволюция, и f-k фильтрации, и полосовая фильтрация, даже миграция в частотной области. Попробуем разобраться в процессе получения спектра Фурье и применимости его для материалов сейсморазведки.

         Если описывать этот процесс «на пальцах», без головоломных формул, мы увидим следующее:

1.     В зависимости от длины анализируемого интервала определяется дискретность спектра – шаг по частоте. Зависимость здесь обратная, чем больше интервал, тем меньше шаг частот, тем подробнее спектр.

2.     В зависимости от дискретности по времени анализируемого интервала определяется граничная частота спектра. Зависимость здесь обратная, чем больше дискретность, тем меньше граничная частота, тем уже спектр.

3.     Для первого шага по частоте рассчитывается синусоида с единичной амплитудой.

4.     Эта синусоида перемножается почленно с интервалом анализа и, в процессе перемножения, считается сумма произведений. Таким образом, там, где знак синусоиды совпадает со знаком интервала анализа, произведение больше нуля, там, где знаки противоположны – меньше. Абсолютное значение суммы произведений тем больше, чем большее количество отсчетов по знаку совпадает с отсчетами синусоиды, т.е. чем больше вся запись(весь интервал анализа) похожа на синусоиду данной частоты.

5.     Полученная сумма делится на количество умножений (нормирование). Частное от деления является первым значением амплитудного спектра. Получение фазового спектра здесь для нас несущественно, и рассматриваться не будет.

6.     Пункты 3-5 повторяются до достижения граничной частоты с шагом, определенным дискретностью наблюдений.

Следует отметить, что преобразование Фурье рассчитано на анализ бесконечно длинного временного интервала, чего на практике нет. Поэтому прибегают к искусственному приему. Создается достаточно длинный массив, заполняемый частично фактическим материалом, а остаток -  нулями, или интервал заполняется периодическими повторениями фактического материала. Без длинного интервала анализа спектр будет очень грубым, с шагом по частоте порядка 10 и более герц, что на практике совершенно неприменимо.

Полученный спектр является некоторой характеристикой, тесно, но не полностью связанной с исходным интервалом. Полностью он соответствует тому фиктивному, который мы создали для получения достаточной длины выборки. Ни первый, ни второй способ информации для анализа не добавили, при соответствующем способе обратного преобразования исходный материал восстановится с машинной точностью.

Как происходит обратное преобразование.

1.     Для первого значения спектра рассчитывается синусоида с амплитудой, равной значению спектра в этой точке и начальной фазой, равной значению первой точки фазового спектра.

2.      Эта синусоида складывается почленно с интервалом анализа ( при обработке первой точки спектра он – пустой).

3.     Пункты 1-2 повторяются с шагом по частоте синусоиды, определяемым дискретностью материала, до достижения граничной частоты.

4.     Накопленные значения интервала результата делятся на количество точек спектра (нормирование результата).

Полученный спектр в точности соответствует исходному материалу и при обратном преобразовании его полностью восстанавливает.

Что происходит, когда мы меняем значения спектра, скажем, при фильтрации?

Вмешательство в спектр равносильно изменению амплитуды тех составляющих синусоид, спектральные значения которых изменены. Но ведь при обратном преобразовании эти синусоиды накладываются на весь интервал. Если мы на каком-то интервале видим низкочастотную помеху с частотой 10 герц, естественным желанием будет подавить ее, т.е. уменьшить или обнулить значение спектра на частоте 10 герц. Однако при обратном преобразовании составляющая этой частоты будет уменьшена на всем интервале анализа, где никакой помехи уже нет. Там появится шум с частотой 10 герц, и будет он тем сильнее, чем сильнее была помеха, и чем сильнее мы изменили спектр.

А что произойдет с помехой? Она ослабится, но не исчезнет. Дело в том, что значение спектра получается в результате осреднения суммы произведений на данной частоте, а помеха присутствует только на ограниченном интервале. Поэтому значение в спектре будет меньше, чем амплитуда помехи. После вычитания ее спектральной составляющей и обратного преобразования она останется на месте.

Особенно опасно то, что применение коррекции спектра вызывает смещение импульсов. Мифом является утверждение, что применение нуль-фазовых фильтров к сдвигам не приводит. Нуль-фазовый фильтр просто не меняет фазовый спектр, но это не значит, что при этом не могут смещаться фазы. Применение частотных фильтраций меняет вид импульса. Скажем, если взять предельный случай, когда вместо обычной трассы при узкополосном фильтре мы получим синусоиду, как можно измерить сдвиг, если изменились и форма, и амплитуда и даже количество фаз.

Другой случай, чисто теоретический. Возьмем один полупериод синусоиды и обнулим остальной интервал. Затем посчитаем спектр. Он вовсе не будет содержать единственную частоту – ту, с которой мы строили полупериод. Спектр будет широким, тем шире, чем выше частота исходного полупериода. Теперь вырежем исходную частоту из спектра и вернемся во временную область. Амплитуда исходного полупериода уменьшится, а все ранее чистое поле будет заполнено шумом, рожденным фильтрацией. То же самое происходит при фильтрации на практике, просто шум несколько менее заметен на фоне остальной записи.

Особенно следует остановиться на деконволюции. Фундаментальное требование при деконволюции – знание сигнала, сверткой которого с импульсной сейсмограммой и получена исходная трасса. Но сейсмическая трасса на имеет единого сигнала, каждая волна, отмеченная на трассе, имеет свои характеристики, свой сигнал. То, что импульсы на записи становятся острыми, является просто увеличением шумовой высокочастотной составляющей спектра и не несет никакой осмысленной информации.

Единственная задача, с которой БПФ справляется прекрасно – это ликвидация промышленных помех, скажем, при прохождении под линиями электропередач. Только в этом случае колебания, от которых мы хотим избавиться, имеют бесконечную протяженность, что требуется в преобразованиях Фурье, постоянную и притом большую амплитуду, что позволяет фильтру настроиться именно на них.

Все остальные применения Лагранжевых преобразований в сейсморазведке бессмысленны с точки зрения улучшения результата и вредны, т.к.добавляют в запись непредсказуемые шумы. Сейсмическая трасса представляет собой смесь многочисленных волн, независимых и непохожих друг на друга по основным параметрам – частоте, амплитуде и протяженности.Каждая волна представлена во всех значениях спектра и нет никакой возможности выделить из общего спектра вклад отдельной волны, чтобы подавить ее.

Только доминантная обработка позволяет однозначно освобождаться от влияния волн-помех любых типов и параметров.

Автор с благодарностью примет любые замечания и возражения непосредственно по электронной почте по адресу vbajbekov»собака»yandex.ru с темой «Спектры Фурье» или на форуме http://www.maksim992.110mb.com/smf/index.php.

 

Оглавление                        Назад                                   Скорости в МОГТ